Ljepota ponavljanja: što su fraktali

Što nam je zajedničko u ruci, na drvetu, morskoj obali, oblaku ili krvnim žilama? Na prvi pogled može se činiti da sve te predmete ništa ne objedinjuje. Međutim, u stvari, postoji jedno svojstvo strukture koje je svojstveno svim nabrojenim objektima: oni su sebi slični. Manji se procesi protežu od grane, kao i iz debla stabla, čak i manji od njih itd., Tj. Grana je slična cijelom stablu. Krvožilni je sustav na sličan način strukturiran: arteriole napuštaju arterije, a najmanji kapilari iz kojih kisik ulazi u organe i tkiva odlaze iz njih. Pogledajmo satelitske snimke morske obale: vidjet ćemo uvale i poluotoke; pogledajmo to, ali iz ptičje perspektive: vidjet ćemo uvale i ogrtače; Zamislite sada da stojimo na plaži i gledamo svojim nogama: uvijek će biti šljunak koji je dalje u vodi nego ostali. Odnosno, obalna crta s porastom razmjera ostaje slična sebi. Američki matematičar Benoit Mandelbrot ovo je svojstvo objekata nazvao fraktalima, dok se takvi predmeti sami nazivaju fraktalima (od latinskog fractus - slomljen).

Što je fraktal? Ovaj koncept nema striktnu definiciju. Stoga riječ "fraktal" nije matematički pojam. Obično je fraktal geometrijski oblik koji zadovoljava jedno ili više sljedećih svojstava: • Ima složenu strukturu pri bilo kojem povećanju razmjera (za razliku od, na primjer, ravne linije, čiji je svaki dio jednostavnog geometrijskog oblika - segment). • Približno je sličan. • Ima frakcijsku Hausdorffovu (fraktalnu) dimenziju, koja je veća od topološke. • Može se izgraditi rekurzivnim postupcima.

Geometrija i algebra

Proučavanje fraktala na prijelazu iz devetnaestog i dvadesetog stoljeća bilo je više epizodičke nego sustavne prirode, jer su ranije matematičari uglavnom proučavali "dobre" predmete, koji su se podvrgnuli istraživanju koristeći opće metode i teorije. 1872. njemački matematičar Karl Weierstrass konstruirao je primjer kontinuirane funkcije koja se nigdje ne može razlikovati. Međutim, njegova je konstrukcija bila potpuno apstraktna i teško je uočiti. Stoga je Šveđanin Helge von Koch 1904. godine izumio kontinuiranu krivulju koja nigdje nema tangente, a vrlo je jednostavno nacrtati. Pokazalo se da ima svojstva fraktala. Jedna varijacija ove krivulje naziva se Kochova snježna pahuljica.

Ideje o sličnosti pokupio je Francuz Paul Pierre Levy, budući mentor Benoita Mandelbrota. Godine 1938. objavljen je njegov članak „Ravne i prostorne krivulje i površine sastavljene od dijelova sličnih cjelini“, u kojem je opisan još jedan fraktal - Levy C-krivulja. Svi navedeni fraktali mogu se uvjetno svrstati u jednu klasu konstruktivnih (geometrijskih) fraktala.

Druga klasa su dinamični (algebrični) fraktali, koji uključuju skup Mandelbrot. Prve studije u ovom smjeru započele su početkom 20. stoljeća i povezane su s imenima francuskih matematičara Gaston Julia i Pierre Fatou. 1918. objavljen je Juliain memoar na gotovo dvjesto stranica, posvećen iteracijama složenih racionalnih funkcija, koji opisuju Julijeve skupove - čitavu obitelj fraktala koji su usko povezani s Mandelbrotovim skupom. Za ovo je djelo nagrađena nagrada Francuske akademije, ali nije sadržavala niti jednu ilustraciju, pa je bilo nemoguće procijeniti ljepotu otvorenih predmeta. Unatoč činjenici da je ovo djelo proslavilo Juliju među matematičarima toga vremena, brzo su zaboravili na to. Ponovno joj se pažnja obratila tek pola stoljeća kasnije pojavom računala: upravo su bogatstvo i ljepota fraktalnog svijeta učinili vidljivim.


Fraktalne dimenzije

Kao što znate, dimenzija (broj mjerenja) geometrijske figure je broj koordinata potrebnih za određivanje položaja točke koja leži na toj figuri.

Na primjer, položaj točke na krivulji određuje se jednom koordinatom, na površini (ne nužno ravninom) s dvije koordinate, u trodimenzionalnom prostoru s tri koordinate.

S općenitijeg matematičkog stajališta, može se odrediti dimenzija na ovaj način: povećanje linearnih dimenzija, recimo, faktorom dva, za jednodimenzionalne (s topološkog stajališta) predmeti (segment) dovodi do povećanja veličine (duljine) za dva faktora, za dvodimenzionalne (kvadrat) ) isto povećanje linearnih dimenzija dovodi do povećanja veličine (površine) za 4 puta, za trodimenzionalne (kocke) - za 8 puta. Odnosno, "stvarna" (tzv. Hausdorff) dimenzija se može izračunati kao odnos logaritma povećanja "veličine" objekta i logaritma povećanja njegove linearne veličine. Odnosno, za segment D = log (2) / log (2) = 1, za ravninu D = log (4) / log (2) = 2, za volumen D = log (8) / log (2) = 3.

Sada izračunavamo dimenziju Kochove krivulje, za čiju konstrukciju je jedinični segment podijeljen u tri jednaka dijela, a srednji interval je zamijenjen jednakostraničnim trokutom bez ovog segmenta. S povećanjem linearnih dimenzija minimalnog segmenta za faktor tri, duljina Kochove krivulje povećava se u log (4) / log (3) ~ 1, 26. Odnosno, dimenzija Kochove krivulje je frakcijska!

Znanost i umjetnost

1982. godine objavljena je Mandelbrotova knjiga Fraktalna geometrija prirode u kojoj je autor prikupio i sistematizirao praktički sve podatke o fraktalima koji su bili dostupni u to vrijeme i prikazao ih na jednostavan i dostupan način. Mandelbrot je u svom izlaganju glavni naglasak stavio ne na teške formule i matematičke konstrukcije, već na geometrijsku intuiciju čitatelja. Zahvaljujući računalno generiranim ilustracijama i povijesnim pričama s kojima je autor vješto razrijedio znanstvenu komponentu monografije, knjiga je postala bestseler, a fraktali su postali poznati široj javnosti. Njihov uspjeh među ne-matematičarima uvelike je posljedica činjenice da se uz pomoć vrlo jednostavnih konstrukcija i formula koje srednjoškolac može razumjeti, dobivaju slike zadivljujuće složenosti i ljepote. Kad su osobna računala postala dovoljno moćna, pojavio se čak čitav trend umjetnosti - fraktalno slikanje, a to je mogao učiniti gotovo svaki vlasnik računala. Sada na Internetu lako možete pronaći mnoga web mjesta posvećena ovoj temi.

Shema za dobivanje Kochove krivulje

Rat i mir

Kao što je gore spomenuto, jedan od prirodnih objekata s fraktalnim svojstvima je obalna linija. Jedna zanimljiva priča povezana je s njom, ili bolje rečeno, s pokušajem mjerenja njezine duljine, koji je bio temelj znanstvenog članka Mandelbrota, a opisana je i u njegovoj knjizi "Fraktalna geometrija prirode". Ovo je eksperiment koji je postavio Lewis Richardson - vrlo talentirani i ekscentrični matematičar, fizičar i meteorolog. Jedan od pravaca njegovog istraživanja bio je pokušaj pronalaženja matematičkog opisa uzroka i vjerojatnosti oružanog sukoba dviju zemalja. Među parametrima koje je uzeo u obzir bila je duljina zajedničke granice dviju zaraćenih zemalja. Kad je prikupio podatke za numeričke eksperimente, ustanovio je da se u različitim izvorima podaci o zajedničkoj granici Španjolske i Portugala jako razlikuju. To ga je potaknulo na sljedeće otkriće: duljina granica zemlje ovisi o liniji kojom ih mjerimo. Što je manja skala, to je dulja granica. To je zbog činjenice da s većim povećanjem postaje moguće uzeti u obzir sve više zavoja obale, koji su prethodno zanemareni zbog grubosti mjerenja. A ako se pri svakom zumiranju otvaraju prethodno neprihvaćeni zavoji linija, tada ispada da je duljina granica beskonačna! Istina, to se zapravo ne događa - točnost naših mjerenja ima ograničeno ograničenje. Taj paradoks naziva se Richardson efekt.

Konstruktivni (geometrijski) fraktali

Algoritam konstruktivne fraktalne konstrukcije u općem slučaju je sljedeći. Prije svega, potrebna su nam dva prikladna geometrijska oblika, nazvat ćemo ih bazom i ulomkom. U prvoj fazi prikazuju se osnove budućeg fraktala. Zatim se neki njegovi dijelovi zamjenjuju ulomkom snimljenim u prikladnoj skali - ovo je prva iteracija konstrukcije. Zatim se opet, na rezultirajućoj slici, neki dijelovi mijenjaju u figure slične fragmentu itd. Ako nastavimo ovaj postupak do beskonačnosti, tada u granici dobivamo fraktal.

Razmotrite ovaj postupak pomoću krivulje Koch kao primjer (pogledajte bočnu traku na prethodnoj stranici). Kao osnovu krivulje Koch možete uzeti bilo koju krivulju (za Kochovu pahuljicu, ovo je trokut). Ali ograničavamo se na najjednostavniji slučaj - segment. Ulomak je slomljena linija, prikazana na vrhu na slici. Nakon prve iteracije algoritma, u ovom slučaju početni segment će se podudarati s fragmentom, a zatim će svaki njegov segment biti zamijenjen isprekidanom linijom sličnom fragmentu itd. Na slici su prikazana prva četiri koraka ovog postupka.

Jezik matematike: dinamički (algebrski) fraktal

Fraktali ove vrste nastaju u istraživanju nelinearnih dinamičkih sustava (otuda i naziv). Ponašanje takvog sustava može se opisati složenom nelinearnom funkcijom (polinom) f (z). Uzmemo neku početnu točku z0 na složenoj ravnini (vidi inset). Sada razmotrimo takav beskonačni niz brojeva na složenoj ravnini, od kojih svaki slijedi iz prethodne: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), ... zn + 1 = f (zn). Ovisno o početnoj točki z0, takav se niz može ponašati drugačije: teži beskonačnosti kao n -> ∞; konvergirati se do neke krajnje točke; ciklično uzmi niz fiksnih vrijednosti; moguće su složenije opcije.


Složeni brojevi

Složen broj je broj koji se sastoji od dva dijela - stvarnog i imaginarnog, to jest formalne sume x + iy (x i y su ovdje stvarni brojevi). ja sam tzv imaginarna jedinica, to jest, broj koji zadovoljava jednadžbu i ^ 2 = -1. Preko složenih brojeva definiraju se osnovne matematičke operacije - zbrajanje, množenje, dijeljenje, oduzimanje (samo operacija usporedbe nije definirana). Za prikaz složenih brojeva često se koristi geometrijski prikaz - na ravnini (naziva se složenom) stvarni dio crta se duž osi apscese, a imaginarni dio crta se duž ordinatne osi, a točka s kartezijanskim koordinatama x i y odgovarat će složenom broju.

Dakle, svaka točka z složene ravnine ima svoj karakter ponašanja tijekom iteracija funkcije f (z), a cijela ravnina je podijeljena na dijelove. Štoviše, točke koje se nalaze na granicama ovih dijelova imaju sljedeće svojstvo: kod proizvoljno malog pomaka, priroda njihovog ponašanja dramatično se mijenja (takve se točke nazivaju bifurkacijskim točkama). Dakle, ispada da skupovi točaka koji imaju jednu određenu vrstu ponašanja, kao i skupovi bifurkacijskih točaka često imaju fraktalna svojstva. Ovo su Julijevi skupovi za funkciju f (z).


Obitelj zmajeva

Promjenom temelja i ulomaka, možete dobiti zadivljujuću raznolikost strukturalnih fraktala.

Štoviše, slične se operacije mogu izvoditi u trodimenzionalnom prostoru. Primjeri volumenskih fraktala uključuju Mengerovu spužvu, Sierpinsku piramidu i druge.

U strukturne fraktale spada i obitelj zmajeva. Ponekad ih nazivaju imenom otkrivača "Haveway-Harter zmajevima" (u svom obliku nalikuju kineskim zmajevima). Postoji nekoliko načina konstrukcije ove krivulje. Najjednostavnija i najočitija od njih je ovo: trebate uzeti prilično dugu traku papira (što je tanji papir, to bolje), i saviti ga na pola. Zatim ga ponovo savijte na pola u istom smjeru kao i prvi put. Nakon nekoliko ponavljanja (obično nakon pet ili šest nabora, traka postaje previše gusta da bi se mogla lagano saviti), potrebno je poravnati traku natrag i pokušati osigurati da se na mjestima zavoja formiraju kutovi od 90 °. Tada će se u profilu pokazati krivulja zmaja. Naravno, ovo će biti samo približna vrijednost, kao i svi naši pokušaji prikazivanja fraktalnih objekata. Računalo vam omogućuje da prikažete mnogo više koraka ovog postupka, a rezultat je vrlo lijepa brojka.

Mandelbrot set konstruiran je na malo drugačiji način. Razmotrimo funkciju fc (z) = z2 + c, gdje je c složen broj. Konstruiramo slijed ove funkcije sa z0 = 0, ovisno o parametru c, može se odmaknuti do beskonačnosti ili ostati ograničen. Štoviše, sve vrijednosti c za koje je ovaj niz omeđen formiraju upravo Mandelbrotov skup. Detaljno ga je proučavao sam Mandelbrot i drugi matematičari, koji su otkrili mnoga zanimljiva svojstva ovog skupa.

Može se vidjeti da su definicije skupa Julia i Mandelbrot slične jedna drugoj. Zapravo su ta dva skupa usko povezana. Naime, Mandelbrotov skup sve su vrijednosti složenog parametra c za koji je povezan Julijin skup fc (z) (skup se naziva povezanim ako se ne može podijeliti na dva odvojena dijela, s nekim dodatnim uvjetima).

Fraktali i život

Danas se teorija fraktala naširoko koristi u raznim područjima ljudske aktivnosti. Pored čisto znanstvenog predmeta za istraživanje i već spomenutog fraktalnog slikarstva, fraktalni se koriste u informacijskoj teoriji za komprimiranje grafičkih podataka (ovdje se uglavnom koristi svojstvo fraktalne sličnosti - ustvari, za pamćenje malog fragmenta figure i transformacija, uz pomoć kojih se mogu dobiti preostali dijelovi, puno manje memorija nego za pohranu cijele datoteke). Dodavanjem slučajnih poremećaja u formule koje definiraju fraktal mogu se dobiti stohastični fraktali koji vrlo uvjerljivo prenose neke stvarne objekte - reljefne elemente, površinu rezervoara, neke biljke, koji se uspješno koriste u fizici, geografiji i računalnoj grafici kako bi se postigla veća sličnost simuliranih objekata s stvarne. U radio elektronici, antene koje imaju fraktalni oblik počele su se proizvoditi u posljednjem desetljeću. Zauzimajući malo prostora, pružaju vrlo kvalitetan prijem signala. Ekonomisti koriste fraktale kako bi opisali krivulje fluktuacije tečaja (Mandelbrot je ovo svojstvo otkrio prije više od 30 godina). Ovim se zaključuje ovaj kratki izlet u svijet fraktala, zadivljujući u svojoj ljepoti i raznolikosti.

Članak "Ljepota ponavljanja" objavljen je u časopisu Popular Mechanics (br. 3, ožujak 2009).

Preporučeno

Uvredljivi strojevi: Iskin je pobijedio pilota borbenih snaga
2019
Mitohondrijska Eva: je li čovječanstvo imalo zajedničkog pretka?
2019
Najopasniji hrčak: prema svjetskoj povijesti trovanja
2019